两个分式型双向积分不等式在数学分析中的应用
山西省中阳县第一中学  范文生
 摘  要：应用两个分式型双向积分不等式，证明数学分析中的一些积分不等式和估计一些定积分的估值
 关键词：分式型双向积分不等式；证明；估值

Two points in a two-way integration inequalities in mathematical analysis of the application of
Fu Yunjin
(Lianglin School District of Fenghuang Hunan，Fenghuang Hunan 416211)
Abstract： Two-way Fractional integral inequality to prove some mathematical analysis Integral Inequality and the estimated valuation of some of the definite integral
Keywords：bi-directional integral inequality；prove；estimation
1两个分式型双向积分不等式
 在文[1]中,提出如下两个分式型双向积分不等式：
 定理[1] 设f(x),g(x)是[a,b]上的正值函数，则在R-可积或L-可积下有：
 当0≤α≤β+1≤1时，
 ≤                          (1)

 当β+1≤α≤0或1≤β+1≤α或α≤0，β≥0时，
 ≥                        (2)
 当α=β=0或α=0，β=-1或α=1，β=0时，（1）、（2）取“=”,
 当上述条件不满足，而β=α-1时，当且仅当f(x)=kg(x)  (k>0)时，（1）、（2）式取“=”,
 当上述两个条件均不满足，当且仅当f(x),g(x)均为正值常函数时，（1）、（2）式取“=”。
 容易看出(1)、(2)分式型积分不等式结构美观，并具有很好的利用价值；本文利用(1)、(2)式，证明数学分析中一些积分不等式和估算一些被积函数为非初等函数定积分的估值．

2利用(1)式积分不等式证明一些积分不等式
 
 例1[2] 证明积分不等式：
 ．
 证明：应用(1)式,得
  ．
例2[3] 证明Cauchy-Schwarz 不等式：
 ．
证明：应用(1)式,得
   ．

3利用(2)式积分不等式估算一些定积分的估值
 例4[4、5] 求椭圆积分的下界．
 解：易知在上是可积的正值函数，应用(2)式，有
           =
       =
由(2)式等号成立的条件可知，上式不能取等号，故>．
 文[4]中利用Toylor级数展开式得到的下界是；文[5]中得到的三个下界分别是、、；而我们在此应用(2)式，不仅计算过程简单，且能进一步缩小其下界．
 例4[6] 求积分的下界.
 解：易知在上是可积的正值函数，应用(2)式及其等号成立的条件，有
       =
                >=
    文[6]中用定积分的估值定理得到的下界是，而我们应用(2)式得到的下界更大．因此应用(2)式估值，不仅计算简捷，还能提高估值精确度． 

参考文献
[1] 阳凌云等著.数学素质教育导论[M].长沙:湖南科学技术出版社,2005：230
 [2] B.П.吉米多维奇.数学分析·习题集解[M].济南：山东科学技术出版社，2001
 [3] 匡继昌．常用不等式(第二版)[M]．长沙：湖南教育出版社，1993
 [4] Bounds on an Elliptic Integral[J].American Mathematical Monthly.1987，94(6)：556-557
[5] 祁锋，郭白妮.一个椭圆积分的下界估计[J].工科数学，1994(1)
[6] 陈文灯等.考研数学复习指南(2008经济类)[M].北京：世界图书出版社，2004：81