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浅探初中数学总复习课中发散思维能力的培养
曹国珍
摘要：本文以实例论述了初中数学总复习课中发散思维能力的培养，从几个方面进行了祥细的分析，说明了在数学教学中，既要重视集中思维的训练，又要注重发散思维的培养，才能使学生的思维能力得到全面发展，从而提高分析问题和解决问题的能力，为社会培养综合素质高的创造型人才。
关键词：发散思维、逻辑思维、集中思维、创造性.
为了进一步落实新大纲和新课标的理念，近几年，“探究性题型”和“开放性题型”受到中考命题者的青睐。这类题大量出现在中考试题中，已经成为一个热点，甚至成为一份试卷品质的一项重要指标。加强这方面的习题训练，对提高考生思维的独创性是大有益处的。这类题主要有以下几种类型：条件开放、结论开放、策略开放、解法开放、实践开放等等，要解决这类问题，必需要有发散的思维、开阔的思路、灵活的方法。这样就必须要考生做到注意积累，熟悉题型，不断培养意识、养成开放的发散思维习惯，才能做好“探究性试题”和“开放性试题”。
数学是培养逻辑思维能力的一门重要学科。在数学教学中，既要重视集中思维的训练，又要注重发散思维的培养，才能使学生的思维能力得到全面发展，从而提高分析问题和解决问题的能力，然而，在目前的数学教学中，普遍存在比较重视集中思维的训练，相对忽视了发散思维的培养。
其实，集中思维可以培养学生严格的逻辑思维能力，使学生的思维具有规范化，是很重要的一种思维形式。但是，发散思维也十分重要，因为它在创造性思维中占着主导地位，它能激发学生从问题出发进行多角度去联想，找到独特的或简捷的解决问题的方法。因此，重视发散思维能力的培养，对培养“创造型”人才具有深远的意义。根据我本人多年的教学体验及参考相关的文献，以下是我就数学总复习课中发散思维能力培养的一些初浅的认识。
一、引导学生对问题中的条件进行发散
复习相似三角形的性质时，直角三角形中，“斜边上的高把这个三角形分成的两个直角三角形都和原三角形相似”，该定理是一个重点，可以引导学生利用“相似三角形对应边成比例”和“三角形的面积公式”进行探讨、归纳总结出：在直角三角形中，斜边上的高把这个三角形分成的两个直角三角形都和原三角形相似，这时图中共有六条边，只要已知任意两边的长，其余四边即可一一求出。利用九义教材初中数学课本中这方面的题目，通过练习，学生即可理解以上的结论。
例1：如图1，在△ABC中，∠ACB＝900，
CD⊥AB于D，图中共有六条边：AB、BC、AC、
CD、AD、BD，引导学生自己根据结论配上条件编题，
只要给出其中任意两边的长，就可以求出其它四边中任意一边的长。这样，学生自己编题思考，不但弄清了该定理的应用，而且会产生一种自豪感、轻松感，从而激发了学生的学习积极性。
类似地，在学习圆中垂径定理的应用时，引导学生归纳垂径定理及推论的实质是：一条直线与弦、弧、圆心之间的关系。这种关系可以分为：1、直线通过圆心；2、直线垂直于弦；3、直线平分弦（不是直径的弦）；4、直线平分弦所对的劣弧；5、直线平分弦所对的优弧。在以上五种关系中，只要任意以两条作为题设，则其余的三条即为结论，学生同样可以自编题目，或回忆课本上的例题、习题，轻松系统地掌握垂径定理及其推论，并能初步达到应用自如。
二、引导学生对问题的结论进行发散
在复习切线长定理时，对切线长定理的图形及结论发散思考。
例2．如图2，PA、PB为⊙O的两
条切线，A、B为切点，由切线长定
理知：PA＝PB，∠APO＝∠BPO，
那么除了这两个结论之外，还有没
有其它的结论呢？
利用以前学过的知识，尽可能得到新的结论：（1）如果连结OA、OB，则有OA⊥PA，OB⊥PB，∠AOP＝∠BOP，且有P、A、O、B四点共圆，易证△OAP≌△OBP，从而∠AOP＝∠BOP，弧AC＝弧BC；（2）如果连结AB，则PO是AB的垂直平分线，且∠OAB＝∠OBA＝∠APO＝∠BPO；（3）如果再考虑到AD为Rｔ△OAP的斜边上的高，说明在图中还可以应用直角三角形的斜边上的高把这个三角形分成的两个直角三角形都和原三角形相似这个定理进行线段的计算，这样，结论就更多了。这种发散思维是在确定了未知元素，寻找图中本身固有的规律，提示了学生思维的深度与广度。
例3．如图3，已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别交于点D和点E。求证：△ABD∽△AEC，A
证完后，让学生思考，不改变原条件，试证：
①△ACD∽△AEB；②AB·AC＝AD·AE；
③AB·CD＝AD·CE；④BE2＝AE·DE；
⑤AB·EC＝AE·BD；⑥AC·BE＝AE·DC；BE
⑦AB·AC＝AD2+AD·DE；⑧AB·AC＝AD2+BD·DC；图3
⑨AC·BE+AB·EC＝AE·BC。同样的条件和图形，有这么多的不同结论，学生在惊叹中展开联想，思维活跃，发散思维得到了良好的训练。三、利用一题多解进行发散
数学中的一题多解往往都激起学生浓厚的兴趣，对训练发散思维起到事半功倍的效果。AD
例4、在复习平行形的判定时，有题目：
“如图4，四边形ABCD中，AB∥CD，BC
∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平图4
行四边形”。因为平行四边形的判定方法共有五种①定义；②一组对边平行且相等时；③两组对边分别相等时；④对角线互相平分时；⑤两组对角分别相等时。让学生对每一种方法都进行思考，不但全面记忆五种方法，而且不自觉地有针对性地添加辅助线，还能自然而然地用到“平行线的性质”以及“全等三角形”等知识，达到举一反三、融会贯通的效果，这种一题多解在考试中可以促进学生全面联想到平行四边形的五种判定方法，并从中选出简捷保险的解法，确保较高的得分率，且能从中体现出敏捷的思维形式。
四、引导学生对图形进行发散
由想象的图形联想到相似的结论，这是数学中的一个奇妙所在，若能引导学生对比联想，可以牢记许多相似的结论。
例5、三角形与扇形都是由
三边组成的图形，且三角形与扇 h R
形的面积公式分别为S△= ah
与S扇形= lR，形式上相同(如 (图5)
图5)，即扇形可以看作是以弧长
l为底的半径R为高的三角形。
这样，由梯形的面积公式S梯形=
(a+b)h，很快联想到图6中的 -d-
阴影部分面积为S阴影= (l1+l2)d。由于学生对三角形与梯形的面积公式已很熟悉，经过这种发散 思维，形成鲜明的对比，从而加深了对公式S扇形= lR与公式S阴影= (l1+l2)d的记忆，从而也可以使学生收到举一反三，触类旁通的效果。
五、引导学生从问题的反面进行发散
数学中的一些问题，若从正面去思考，往往显得很复杂，甚至无从下手，从问题的反面去进行思考，能收到意想不到的效果。
例6、若三个方程 ： ①
② ；③ 至少有一个方程有实数根，求实数m的取值范围。该题若从正面着手来解，情况十分复杂，很不容易得到正确的结果。但是，若注意到三个方程中至少有一个有实数根的反面是：三个方程都没有实根。因此我们只需要在全体实数这个集合中排除三个方程都 没有实数根时m的取值范围，余下即为本题所求的答案。
解：由根的判别式得：
解这个不等式组，得 ＜m＜ ，即当 ＜m＜ 时，三个方程均没有实数根，所以当m≤ 或m≥ 时，这三个方程中至少有一个方程有实根。
建立合理的思维结构，发挥初中学生善于联想的形象思维优势，培养学生运用不同的方法观察思考问题的习惯和勇于探索的良好心理素质，对于发展学生数学思维的敏捷性和连续性、创造性将起到不可低估的推动作用。尤其在总复习中，学生对初中数学知识已经有了较全面的了解，有整体连贯并能灵活地熟练地运用的未知欲望，加强发散思维能力的培养，正是让学生形成一种全方位的思维结构，使学生的思维空间得到最大限度的拓展，思维更加发达。
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