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浅谈凸函数在证明初等不等式中的简单应用
李晶
摘要：初等不等式证明是高中数学学习阶段的难点之一。本文介绍了凸函数在证明初等不等式中的简单应用.
关键词： 凸函数；不等式；
初等不等式证明是高中数学学习阶段的难点之一，很多同学为之头
痛。凸函数是一类重要的函数.它的用处很广。有些不等式利用凸函数的性质、定理来证明非常简洁、巧妙。下面进行了简单介绍。
*说明：①下文所说凸函数均为下凸函数。不等号相反，则称 是 上的上凸函数，不再重述
②定理：若数列 是递增差数列，则
等号成立时 是等差数列.
定义：设函数 在区间 上有定义，若对 上任意两点 ， 和正数 ，总有：
成立，则称 为区间 上的凸（下凸）函数，若上式仅不等号成立，则称 为区间 上的严格凸函数.
等价定义：设函数 定义在区间 上，如果对 ，有
，
其中 ， ，且 则称 是 上的凸（下凸）函数.
设 为区间 上的二阶可导函数，则在 上 为凸函数的充要条件是 ： ，
三、凸函数的重要性质
性质1.（Jensen不等式）若 为区间 上的凸函数，则对任意 ， ， 有
推论：若 为区间 上的凸函数，则 必有
性质2. （几何特性） 是 上的凸函数，则有：
， .
四、凸函数的简单应用
有一类不等式利用凸函数的性质、定理来证明非常简洁、巧妙。证明不等好似就是凸函数的一个应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数.下面举例说明.
例1..若 ， ，p、q ，且 ，求证： .
分析：从所述求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数.因此，我们
对此不等式进行适当的变形，不妨在不等式的两边同取自然对数，且 ，即 ，由此我们就很容易找到合适的凸函数了.
证明： 考察函数 ，因为 ，故 为 上的严格凸函数。又因为 ，故：
即：
从而 .
例2.证明：当 且 时，有 + >
分析：不难发现构造辅助函数 （t>0）是不行的。我们必须把要证的不等式稍作变形，两边同时乘以 ，得到 > ,这时显而易见，若构造辅助函数 ，则即证 .
证明： 设 ，所以
， ，
所以 在区间 上是严格的凸函数，
对 且 有
即：
即：
通过对上述问题的证明，我们认识到利用凸函数证明不等式，关键是寻找合适的凸函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的.
例3. 证明不等式： ，（ ）
证明： 设 ， ，则 为凸函数，由凸函数几何特性有：
设 则 ，从而有：
化简后得：
综合以上可知.利用凸函数定义及几何特性证明不等式，关键是要根据所证不等式，选取相关的函数及适当的 、 ，此法虽具有一定的构造性，但是证明过程却相对简洁.
例4. 在 ，有
证明： 取 ， ，则
.
则 在 是下凸函数，而 ，
由Jensen不等式及推论得
当且仅 时，上述不等式取等号
例5. 求证：
证明： 令 则 ，故 在 上是凸函数.用点 将区间 分作 等分，于是
显然是个递增数列，由定理②得
即：
综上，可以看出：凸函数在不等式的证明中的运用，显得巧妙、简练，但是寻找合适的凸函数是解决问题的关键，只有熟练地掌握了凸函数的几个等价定义、凸函数的性质与判定，才能将它们应用到具体的不等式的证明中，同时要多加练习，才能在选择什么样的凸函数时，做到熟能生巧，胸有成竹.
参考文献：
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2. 尚亚军,游淑军.凸函数及其在不等式证明中应用 [J].广州大学学报,2005,4(1) 1-6.
3. 王良成.凸函数及其不等式[M].程度 四川大学出版社,2001,8，156-173.
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