初三数学复习随笔 ——由一道练习题引发的思考 

赵树学

云南省曲靖市罗平县长底民族中学 655803 

在新课标的前言部分提出：“数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养，数学教育更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代作用”。当然，数学教育更要求教师有探索的精神，准确把握课标，灵活使用教材，把教材内容研究透、用活，而不是照本宣科地教教材。

特别是初三的教学，更要让学生把“温故”与“知新”紧密地联系在一起，注意对各块知识点的应用，对应综合题和变式题要把他们之间的相同点与不同点，以及该题所用的知识点，做到根据题目的变化能应对自如。

1 通过例题讲解，培养应变能力

不要放过任何一道看上去很简单的例题，它们往往并不那么简单，可能会引伸出很多知识点。在相似部分有这样一道题：“如图，〖TPA.TIF,Y,PZ〗一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？”该题在北师大版2007年11月第五版八年级下册里是一个例题，到了新人教版2009年3月第2版和2014年10月第1版里都是在九年级下册相似部分复习题的拓广探索里。学生做此题时困难重重，可能会找不到突破口，或是有点方向，但无法找到各线段之间的数量关系，因为该题用的知识点多，主要的有正方形的性质、相似三角形的判定及性质，尤其是要会用相似三角形对应高之比等于相似比，老师在引导学生分析问题时，一定要让学生学会读题目的已知条件，再结合图形一步一步往下推，由正方形EFHG得出他的四边相等，四个角都是直角，对边平行，才能得出△AEF∽△ABC，AD是BC边上的高，当然AK就垂直EF，于是有〖SX(〗EF〖〗BC〖SX)〗=〖SX(〗AK〖〗AD〖SX)〗=k，此时发现BC，AD为已知，EF，AK是未知数，一个方程中有两个未知数就不能求出唯一的解了。这时就还得找AK与EF的关系。多数学生在发现EF=FH=KD这一过程是有些难的，而且还要把AK转化为AD－DK＝AD－EF，即〖SX(〗EF〖〗120〖SX)〗 =〖SX(〗80－EF〖〗80〖SX)〗 解这个一元一次方程得EF=48，得出了正方形的边长为48mm，此时老师和学生都可以松一口气。

但是有多少人会想到：“若四边形EFHG〖TPB.TIF,Y,PZ〗

不是正方形，而是矩形，其他条件不变，令EF=x，FH=y，⑴写出x与y的函数关系式。⑵当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？”这个问题呢？

这样一来就把几何中的相似与函数联系在一起了，而且把这个题目变得有血有肉了，第⑵问中求最值又是一个学生很熟知的实际问题，如果把问法改为：“在三角形中如何切出一个面积最大的矩形”。这个问题可以引发学生的积极性和求知欲，爱动脑的学生都想展现自己的能力，能不能通过自己的理解把不同的问题处理好？这个问题和上一个有什么相似之处。经过大家的思考和讨论结合前面所讲的方法不难得出答案：〖SX(〗EF〖〗BC〖SX)〗=〖SX(〗AK〖〗AD〖SX)〗=k还成立，只是把EF=x，FH=y代入比例式得〖SX(〗x〖〗120〖SX)〗=〖SX(〗80－y〖〗80〖SX)〗 ，所以y=80－〖SX(〗2〖〗3〖SX)〗 x。因为S=EF.FH=xy=x(80－〖SX(〗2〖〗3〖SX)〗 x)=－〖SX(〗2〖〗3〖SX)〗 x2+80x，所以y=－〖SX(〗2〖〗3〖SX)〗  (x－60)2+2400。答案就出来了。当x=60时，y有最大值为2400mm2。整个过程又把一次函数、二次函数、配方、求二次函数的最值加在里面了，这是一个几何代数的综合题，考查学生对各块知识点的综合运用。让学生通过熟悉的背景来学习与体会知识的产生、演变等过程，这也是数学学习方式改变的必然途径。本题来源于课本，但又超越了课本。

通过对这个题的变化，我一直在思考。要把学生的数学思维打开，首先要让学生对问题的探索产生兴趣，其次还要使问题贴近实际生活。正如陶行知先生说：“一切教育必须通过生活才有效，教育与生活隔绝，其力量极小”。把所学知识运用到生活中是学习数学的最终目的，组织学生运用数学知识解决实际问题的实践活动有利于拉近知识和生活的距离，把生活和数学融为一体。从三角形中切出最大面积的矩形这一情境有效地使学生参与问题的探究过程，并在不断猜想、判断、论证的学习活动中，通过演算悟出数学问题的实质，实现学生新的认识结构的形成，还可唤起学生的创新意识。学生掌握了一些数学知识后，让他们应用这些知识去解决他们身边的一些实际问题，他们是十分乐意的。因此，教师不仅要教会学生怎样获取知识，更要让他们能用所掌握的知识去创造性地解决一些实际问题，从而使学生的聪明才智得以充分发挥，个性在此得到张扬，所以教师在教学的过程中，应选择一些“生活”问题，让学生用学到的知识来创造性地解决，这是培养中学生对数学知识应用能力的最好方法之一。

2 通过课外练习，培养学生应变能力

培养学生的应变能力，我们老师要为学生提供些素材，把相关的知识作些对照，什么问题能拓展，什么问题要区分，教师要做到心中有数，既不能超越课标的要求，杜绝繁、难、偏、旧的知识。又不能让学生对知识点模糊不清，学生真正的懂是能根据已知条件，运用所学知识得出正确的结论，对答案进行取舍，找到相同点与不同点。例如：在等腰三角形部分，有这样一道题，“已知等腰三角形的两边长分别是5和6，求三角形的周长。学生通过分析讨论后可能会得出一个答案，也会有部分学生得出两个答案，这时老师带着学生一起分析，得出两个答案是完整的。这时老师接着把题目中的数字改为3和9，再看看学生做的结果如何，也可能还会出现两个答案，通过对比就能了解学生做题是否真正考虑到了三角形的三边关系，还是只会简单的模仿。

教师在备课时要认真备教材、备学生，对问题的设置要有目的性、针对性，每个问题都要考虑到容易出现的变化，而每一种变化是要运用什么知识点，对那部分学生有帮助。解决该题是为了巩固哪些知识点，与哪些实际生活联系紧密，这些都是我们考虑的范围，古话说：“宰相无谋，累死三军”，若我们每节课都是提着课本没有目的的讲课本，或者见到资料就盲目拿来，那么就算累死老师、累死学生也不能达到很好的效果；若每位老师都认真的备课，把教材内容联系生活实际作些处理，也就体现了我们是用教材来教，不是教教材。

3 通过一题多变，培养学生的思维能力

在学生初步学会如何思维和掌握一定的思维方法后，应加强思维能力的训练及思维品质的培养，注意培养思维的条理性与敏捷性，根据解题目标，确定解题方向，训练学生思维，条理清楚，遇到问题能按一定顺序去分析、思考，对复杂问题应训练学生善于从局部到整体再从整体到局部的思维方法。从各种不同角度，寻求不同的解法，改变条件进行“一题多变”和“多题一解”的训练，让学生变学为思。

如图一，已知点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∠A=50度。求∠BPC的度数。这个题是考查学生对三角形内角和和角平分线的应用。当学生算出的∠BPC的度数时，我们把题目变为：“已知BP、CP是∠ABC和∠ACB的平分线，求证∠BPC=90+〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗 ∠A”。图二中：已知BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角平分线，求证∠P=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗∠A。图三中：已知BP、CP是∠ABC和∠ACB的外角平分线，求证∠P=90－〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗 ∠A。这三个题都以角平分线为已知，把内角、外角、内外角的平分线都用上了，学生在做题时主要用到角平分线定理、三角形的内角和、三角形的外角定理，学生通过做这三个题把以上知识辨别清楚。找到他们的区别和联系。

〖TPAA.TIF，BP〗

总之，学生解题能力的提高，不是一朝一夕能做到的，也不仅仅靠教师的潜移默化和学生的自觉行动就能做好的，更不能盲目地搞题海战术，需要教师根据教学实际，坚持有目的、有计划、有针对性地进行培养和训练：“授之以渔”——让学生在解题过程中获得乐趣，产生灵感、悟出解题的正确思路和策略。