数学思想方法在二次函数教学中的运用  

张文彬

湖北省仙桃市敦厚中学 433000

 那么如何通过二次函数进行数学思想方法的教学呢？

1 纵向联系，类比迁移

 二次函数的教学，就近而言，是在学生已掌握了函数的概念，正比例函数与反比例函数以及一次函数的图象和性质的基础上继续深化的；就远而言，将来要进一步系统地研究初等函数．因此从数学知识及数学思想方法的延续性和发展性入手，顺其自然地组织教学，应当是二次函数教学的出发点．

1.1 揭示研究函数的一般方法和规律，使学生基于理性的高度，从宏观把握微观，从整体认识个别，从一般研究特殊．

 如前所述，学生通过前阶段的学习，已对函数及其研究有所认识．到了二次函数教学阶段，揭示研究函数的一般方法和规律，已是水到渠成．

 教学时，可通过回溯，分析及深入浅出的例示讲述，使学生从理性的高度认识到：研究二次函数同研究正、反比例函数及一次函数一样，都遵循着函数研究的基本方法和步骤，即：实例→定义（解析式的定义）→图象与性质→应用．

 学生只要从思想上真正把握了函数研究的逻辑线索．那么，掌握二次函数研究的主要内容和研究方法是并不困难的．

1.2 紧扣形数结合的思想方法，搞好从特殊的二次函数到一般的二次函数研究的迁移，使学生顺利完成从特殊到一般，从简单到复杂的思想历程．

 将反映函数特征的图象和性质有机地结合在一起，是研究函数的重要思想方法．这种形数结合的思想方法，学生前已涉及．鉴于一般的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，可以通过配方化为：y=ax2+bx+c=a(x+〖SX(〗b〖〗2a〖SX)〗）2+〖SX(〗4ac-b2〖〗4a〖SX)〗即：y=a(x-h)2+k的形式，而这种形式的二次函数可以由特殊的二次函数y=ax2(a≠0)通过平移变换得来，并且关于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，顶点，开口方向以及函数的增、减与最值的研究结论和方法，完全可以“平移”到一般的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)上，（从y=ax2到y=ax2+bx+c，从图象来看，仅有位置的不同）．所以，首先搞清楚简单的二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质，显得十分重要．然后，在此基础上，遵循从特殊到一般，从简单到复杂的认识规律，顺利实现学生知识的迁移，应当是我们教学的最优决策．

1.3 在二次函数的教学中，应当重视配方法及待定系数法等数学方法．比如，关于求y=ax2+bx+c(a≠0)的最（大、小）值问题，应引导学生不要局限于会应用公式，而且要掌握公式的来源，从中认识到配方法本身是一种重要的数学方法，体会其在数学学习中的重要性．待定系数法的学习主要表现在求函数的解析式，其方法不难掌握，重点是引导学生从中总结出应用的一般步骤，形成应用待定系数法的意识．

2 横向联系、深化认识

 在初中数学里，二次三项式（代数式）、一元二次方程（方程），及一元二次不等式（不等式），在一元二次函数（函数）这部分实现了交融，因此，在二次函数的教学中，实现数学知识的融会贯通以及从更高的观点上对以前学过的有关知识予以“再认识”，是教学的重要任务．简言之，这里就是要求在数形结合的基础上，以函数的观点来研究数学问题．

2.1 以对应的观点来看待二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，则它就可理解为二次函数，借助二次函数的图象与性质，可以简捷地解决二次三项式的取值问题．

 例1   已知二次三项式-2x2+8x-8，当x取哪些值时，代数式的值：（1）大于零；（2）小于零；（3）等于零：

  解：把二次三项式-2x2+8x-8理解为二次函数y=-2x2+8x-8,并画出神经质图象，经观察知

 （1）x取任实数时，函数值y都不大于零．所以原二次三项式的值不可能大于零；（2）x≠2的任何实数，y＜0，即当x≠2时原二次三项式的值都小于零；（3）x=2时， y=0，即当 x=2时原二次三项式的值为零．

 例2  求二次三项式2x2-8x+1的最大值或最小值．

 解：把二次三项式2x2-8x+1看作为二次函数y=2x2-8x+1

 ∵a=2＞0，∴y有最小值，当x=2时，得：y最小=-7，即当x=2时，二次三项式有最小值为-7．

2.2 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其与x轴的两个交点的横坐标正是方程ax2+bx+c=0的两根，这说明ax2+bx+c=0的解是使函数值为零的两个特殊值．即以函数观点看一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是使函数y=ax2+bx+c取特殊值为0的自变量的值，也就是抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点的横坐标．因而，对于一元二次方程可以借助二次函数的图象来研究之．

 例3证明方程（x-m）(x+n)=1有两个实数根，且m的值介于两根之间．

 证明：设y=（x-m）(x+n)-1,由于函数中x2的系数为1，故抛物线开口向上．x=m时，y=-1; 故（m，-1）在x轴下方．

 因为抛物线的开口向上，且点（m，-1）在抛物线上，故抛物线与x轴有两个交点．设交点分别为（x1，0 ），（x2，0），x1＞x2，则x2＜m＜x1．

2.3 从函数的观点看，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)使函数值为正（负）时自变量x的取值范围，就是相应的二次不等式的解集．换句话说，对于一元二次方程不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0，可以利用二次函数及其图象来讨论其解的情况．

 对于一元二次不等式，有两种标准形式：ax2+bx+c＞0（a＞0）、ax2+bx+c＜0(a＞0)，如（a＜0，可转化为a＞0的情形），因为△=b2-4ac有正、负、0三种情况，故一元二次不等解的讨论比较复杂．如果单纯从代数知识上去讨论，势必会遇到很大的困难，而借助于二次函数及其图象和性质，可使这种讨论的难度大大降低。