培养学生数学素养和创新能力

福建省泰宁县第三中学伍东日

不少从事数学教育教学多年的教师，一直存在有一个疑问：同样的教材，一样的学生，为什么有的老师带的班级考得出类拔萃，而有的老师“使劲”最大，却考得一塌糊涂？有这样的一则故事：一位哲学家、一位物理学家和一位数学家在一起聊天。哲学家问：“烧开一壶水需要哪些程序？”物理学家说：“首先用水壶在水龙头上打满水，然后把它放在燃气灶上，打开燃气点着火，将水烧至沸腾，再关闭燃气，这样就操作完毕了。”哲学家问数学家：“你将如何操作呢？”数学家说“回答这个问题很简单，我只需将他烧开的倒掉，就可以了”。多经典的对白啊！倒掉了开水就回到了物理学家开始操作时的环境，剩下要做的就是重复他的操作而已。其实我们学习数学，最重要的就是探究数学本质、掌握数学思想和方法，总结其内在的规律，剩下的就是应用我们所学的思想、方法、规律去解决问题子。而这个解决问题的过程就是一个“倒水”的过程。

1.“倒水”的过程就是归结解题通法的过程

在很多的数学问题中，它们总是存在着内在的联系，有些问题可以相互转化。我们在学习过程中，经过不断的探索和挖掘，弄清它们之间的转化规律，就可以找到解决问题的通法，其实这个过程也就是一个“倒水”的过程

例1有n支足球队进行单循环比赛，你能计算出他们的比赛的场次吗？

分析n支球队单循环比赛，就是每两支球队打一场球，我们可以这样理解：取1支球队出来，它和剩下的（n-1）支球队可以打（n-1）场球，这样每一支球队教打了(n-1)场球，总共应该打n(n-1)场球，但是甲队与乙队打是重复的觌，所以这支球队一共所打的场次是

场。

例2一条直线上有n个点，它们可以组成多少条线段？

分析这个问题其实和上一例是同属一个问题，直线上每两个点可以组成一条线段与单

循环中的每两队打一场一样，因此共可以组成线段。

例3 一个锐角内有n条射线，则一共可组成多少个角？

分析这个问题与上两例也是一样的，因为具有公共端点的每两条射线可以组成一个

角，所以这（n+2）条射线一共可组成角。

例4你能计算出n边形对角线的条数吗？

多边形的每两个不相邻的顶点可连结成一条对角线，因此，n连形的每一个顶点都能和

（n-3）个顶点边结成对角线，所以共可连对角线条。

以上几个问题的解决，其实质就是一个问题：单循环公式的应用，我们在分析问题、解决问题的过程中，只要能把“水”倒掉，问题的解决就“水到渠成”了。

2.“倒水”的过程就是数学建模应用的过程

笛卡儿说过：“我们所解决的每一个问题，将成为一个模式，以用了解决其他的问题”。而我们利用数学建模在解决问题时，其关键就是运用所掌握的数学信息，根据基本的数学图形、数学思想和方法，进行敏锐的识别、分析，以形成对问题的综合判断，这个过程就是将实际问题转化为数学问题的过程，当然也就是“倒水”的过程。

例5  Rt△ABC中（图1），∠ACB＝90°，∠ABC＝α，∠ADC＝β，BD＝a，求AC。

解在Rt△ABC中，因为cotα=      ,所以BC＝ACcotα.在Rt△ADC中，因为cotβ

=   ,所以DC＝ACcotβ.

而BC－DC＝ACcotα- ACcotβ=AC(cotα－cotβ)＝a,所以AC＝。

例6测底部不能直接到达的塔AF的高度，如图2，E、G同塔尖的仰角分别是45°和60°，并没得EG＝100m，测角器的调试是1.5m。

求塔高AF。（精确到0.1m）

解（略）构造双直角形如图2，即可求得塔AF的高

例7  测宽度，如图3，AC、BD是两平行河岸，要测量

河岸的宽度，可在河的AC岸旁确定一个参照物，

在河的另一岸BD没得∠EFP＝α，∠BEP＝β，

EF＝a，求河宽PH。

解构造双直角三角形如图3所示。（解略）

以上除例5外的几例都是解决实际问题的例子，解决这类问题的关键就是将它们转化为数学问题，我们可以通过例5建立的数学模型，结合每一个问题业构造双直角三角形求解。在解决问题的过程中加深了对相关数学知识的理解，挖掘了各知识点之间的本质联系；更重要的是，在不断探索、总结整全的“倒水”过程中，使每个学生在思维能力、情感态度与价值观得方面都得到了长足的发展。

3.“倒水”的过程就是数学“联想、类比、验证”的过程

在学习中，结合问题，进行联想、类比，在灵活运用分解、变形、代换等方

法变化问题的思维过程中，灵敏地发现解题思路。通过联想、类比，还可以使新旧知识相互联系，巩固提高，有利于拓宽视野，培养思维的灵活性，提高创造性思维能力。

例8 四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，证明：AB+DC≥2MN。

提示：连接BD，取BD中间点G，连接MG、NG（如图4）。

事实上，这里是利用中位线平移汇集在同一个三角形中来研究。

     图4

例9 四边形ABCD中，AB=CD,M、N分别是AD、BC的中点，BA、NM交于E，

CD、NE交于F，证明：∠CFN=∠NEB（如图5）。

分析：这里所要证明的等角分布在不同的三角形中，证全等无条件，于是由例8联想，类比，用平移法把两个角移到同一三角形中。因此，连接BD，取BD的中点G，连接MG，NG。

 

图5                                   图6

例10  设M、N为四边形ABCD的边BC、AD的中点，BA、CD的延长线交MN于

P、Q，若AB>CD，则∠APN<∠DQN。

与例8类比，辅助线作法（如图6）。

例11  在△ABC中，AB<AC,在CA上取D点，使AB=CD，M、N分别是AD、BC

的中点，BA、NE交于E，求证：∠BEN=∠CMN。

与例8类比，辅助线作法（如图7）。

图7

总之，同学们的智力资源是十分丰富的，只要我们有目的培养创新意识，充分调动创造潜能，大胆进行“观察猜想、类比联想，归纳验证”直觉思维的训练，我们的创造能力就会不断提高，就会在学习实践中学会发明创造。

4.“倒水”的过程就是知识的整合与创新的过程

我们学习数学的过程，实际就是知识迁移和整合的过程。那么如何更为有效的做好知识的迁移和整合呢？这个问题在例题的学习中体现的较为突出。例题一般具有典型性、示范性、及迁移性。掌握例题的解法和结论，挖掘例题的思想精髓，可以帮助我们在学习过程中，细化“倒水”的过程，激发创新指挥刀一，在“倒水”中沟通数学知识间的联系，完善自己的知识结构，从而提高解题的速度和准确性。