运用数学开放题，培养学生的创新思维

福建泰宁三中伍东日

在我们现行的九年制义务教育中,进行素质教育过程中,实施创新教育,培养学生的创新意识和精神,开发其创新潜力,提高其创新能力,这是教育教学的最高境界。而数学作为基础教育中教学时数最多的学科之一，又由于学科本身的特点，在创新能力培养中发挥着独特的作用。因此，培养学生创新意识和创新思维能力，是我们在数学教学中的一项重要的任务。

开放题的核心是培养学生的创新意识和创新思维能力，在过去很长的一段时间，我们的教学实践中数学题目开放性的较少，基本上是“封闭”的，即条件和结论都是确定的，其解题过程也是经过教师深思熟虑的，学生在学习中只要死记硬背、机械模仿，很容易能熟练操作，取得较好的成绩，但对学生的思维能力培养重视不够，特别是对学生的创新意识和创新思维能力培养。而开放题在教学中的作用正好能够很好地对学生的创新意识和创新思维能力进行培养。开放题较之封闭性的题目综合性更强，知识的覆盖面更广，对问题的条件不作太多的限定，对问题的答案给以宽松的环境，结论、解法可以是多种不固定、不唯一不确定等，但要求是多样化的，丰富多彩的，它能够促使学生积极进行观察、比较、分析、联想、概括、推理判断等一系列探究活动，对学生进行开放性的思维和思考方法训练。因而，在实际数学教学中，合理地运用开放题，能够很好地培养学生的创新意识和创新思维能力，下面就根据本人在运用开放题进行教学的体会和理解谈谈自己的一些看法。

一、用不定型开放题，培养学生的发散思维

不定型开放题，所给条件包含答案不唯一的因素，包括条件开放、结论开放和策略开放三个方面。在解题过程中必须利用已有知识结合有关条件，从不同角度对问题作全面分析，正确判断，得出结论，培养学生思维的深刻性。

1.条件开放型

给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一，这样的问题是条件开放性问题，它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因，从不同的角度去寻找获得解决这个结论的条件。

例1阅读下面的文字后解答问题，有这样一道：已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（0,a）、B（1,-2），               求证：这个二次函数图像的对称轴是直线x=2。题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式，若能，写出求解过程；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已知信息，在原题中的矩形内，填上一个适当条件，把原题补充完整，并把你补充的条件填写在原题中的矩形内。

解（1）因为二次函数的图解y=ax2+bx+c的图像经过A（0,a）、B（1,-2）。

a=c        ①

所以，又因为二次函数图像的对称轴是直线x=2，

       -2=a+b+c②

所以-     = -2  ③，联立①②③，解得a=1,b=-4,c=1。所以根据现有信息能求出题目中二次函数的解析式，且解析式为y=x2-4x+1。

（2）可供补充的内容有（选其一点即可）：

①满足解析式的任一点坐标，如M（0,1），N（－1,6）等；

②a=1或－4或c=1；

③与y轴交点坐标为（0,1）；

④与x交点坐标为（2- ，0），（2＋，0）；

⑤最小值为－3；

⑥顶点坐标为（2，－3）；

⑦b2-4ac=12等等。

2 .结论开放型

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探索条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题。它要求学生灵活运用所学知识，善于突破常规。进行直觉、想象、猜想、创造等活动才能解决，这类题主要考察解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。

例2将两块完全相同的等腰直角三解形，摆成如图1的样子，假设图中所有的点，线都在同一平面内，请回答：

①图中共有多少个三解形？把它们一一

写出来；

②图中有相似三角形吗？如果有，就把它

们一一写出来（不包括全等三角形）

分析（1）可分两类讨论：

第一类：在△ABC中，以AB为一边的三角形有△ABC 、△ABD、△ABE三个；以AD为一边的三角形有△ADE、△ADC两个；以AE为一边的三角形有△AEC一个，共6个三角形。

第二类：在△AFG中，只有一个△AFG与上面的三角形不重复。

（2）亦分两类讨论：

第一类：在△ABC中，易得△ADE∽△BAE，△BAE∽△CDA，

△ADE∽△CDA，

第二类：在△AFG中，找不出其它相似三角形。

3、策略开放型

策略开放性问题，一般指解题方法不唯一或解题路径不明确的问题，这类问题要求解题者不因循守旧，不墨守成规，善于标新立异，通过积极思考，创新求索、发散思维，优化解题方案和过程的策略。

例3正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下，图2所示：

仿上用图示的方法，解答下列问题：

操作设计：

（1）对直角三角形（图2），设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。

（2）如图3，对任意三解形设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。

分析本题通过对图形的剪裁拼接，考查学生的创新求索，发散思维，优化解题方案和过程的策略。本题的方案很多，略举几例：

二、运用多向型开放题，培养学生的创新思维

多向型开放题，是对同一个问题可以有多种思考方法，使学生纵横联想，启发学生一题多解、一题多变、一题多思，训练学生的发散思维，培养学生创新思维能力。

1.一题多解型

这类开放题是指在同一条件下，可以有不同的解题思路，达到同样结果的题型。这就需要学生通过多角度、多方位、多层次地探求解题思路和方法，开阔学生的解题思路，从而培养学生思维的广阔性。

例4   如图6，梯形ABCD中，AB⊥BC且AD＋BC＝CD，

求证：以AB为直径的圆与CD相切。             

分析：由于不知道切点位置， 

故常见思路是过圆心作切线的垂线段，

再证其为半径。

证法一：如图7，过圆心O作OE⊥CD于E，连接DO并延长交CB延长线于F点。

证△BOF≌△AODBF＝ADCF＝CD∠ADO＝∠EDOOE＝OA。

                                     

     

证法二：如图8，过圆心O作OE⊥CD于E，连接OD、OE、OC。

观察图形，猜想△DOC与梯形的面积有何关系？

先证△DOC的面积是梯形面积的一半，再推出OE是直径AB的一半。

这种利用面积证题，独辟蹊径，观察图形，进行猜想、联想能培养思维的灵活性和敏捷性。

证法三：如图9，过圆心O作OE⊥CD于E，连接DO，过O作OM∥BC于M点。

利用梯形中位线定理OM＝DM∠ADO＝∠MOD＝∠EDO

OE＝OA。

思考：添辅助线时将“过圆心O作OE⊥CD于E”改为

“在DC上截取DE＝AD”，其它不变，可否？

证法四：图10在DC边上截取DE＝AD连接AE，OE，EB。

由等腰△ADE和等腰△ECB各自的两底角相等、∠D和∠C的互补及三角形内角和定理可证得∠AEB＝90°，从而推出OE是AB的一半。

2.一题多变型

这类开放题是指从一道题出发，通过逆向思维、探求新知、改变条件、引申结论、变化难度等手段，使原来一道题变成  一类题，这类题的变化是开放的，只要合理都可以作为变式题。在数学学习中恰当地、适时地加以运用，能培养思维的创造性。

例6已知：如图11，△ABD、△AEC都是等边三角形。

求证：BE＝DC

变式一在已知锐角三角形ABC的外面作正方形ABDE和正方形ACFG（如图12）

求证：BG＝CE

变式二已知：如图13，△ACE和△ABD是以△ABC的边AC和AB为边的等边三角形，P、O、R分别是BC、BD、CE的中点。

求证：PQ＝PR

变式三已知：如图14，△ABD、△ACE、△BCF是分别以△ABC的AB、AC、BC边为一边的等边三角形。

求证：四边形ADFE是平等四边形。

此题还可以通过增加题目的条件，改变结论等来得到另一类变式。通过一题多变，可使一些基础较差的学生也感到数学并非枯燥无味，从而对数学这门学科产生兴趣。因此，在数学教学中，教师要善于引导学生变换题型，灵活运用启发式，让学生善于提出问题和发现问题，以激发学生积极思维和求知兴趣，达到举一反三，触类旁通的效果。培养学生思维的灵活性和创造性。

三、运用隐藏型开放题，培养学生创新能力

隐藏型开放题，是指解题所需的某些条件隐藏在题目的背后，如不注意容易遗漏，这就需要我们在解题时要全面考虑问题，既要考虑条件和结论，又要考虑是否存在与问题有关的隐藏着的条件。这样有利于培养学生认真审题的习惯和思维的缜密性。

例7已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。

（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k,使方程的实数要互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。

解（1）根据题意，可得△＝（2k－1）2－4k2＞0，解得 ，因此当k< 时，方程有两个不相等的实数根；

（2）存在。如果方程的两个实数根x1、x2互为相反数，则x1＋x2＝ -  ＝0。解得k=  。经检验k=是方程的解，因此当 k=  时，方程的实数根x1、x2互为相反数。

分析本题存在两个隐藏，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，同学们在用根的判别式时，常常忽视a≠0这一条件；在运用根与系数关系时，易疏漏a≠0和△≥0这两个条件，本题就出现了这样的错误。

四、运用缺少型开放题，培养学生的独创能力

缺少型开放题，按常规解法所给条件似乎不足，但如果换个角度去思考，便可以解答。

例8解方程组

分析这是一个有三个未知数两个方程所组成的方程组，显然用常规方法难以解答，即使可以也往往使人陷于尴尬的处境。仔细观察方程组中x、y这两个未知数是以和与积的形式出现，由此联想到根到系数的关系，从而构成一元二次方程。

解由原方程组得x+y=2,xy=1+z2,于是可设x、y为关于m的m2-2m+1+z2=0的两个根，

所以△＝（－2）2－4（1＋z2）＝－4z2≥0，但z2≥0，故只有z2＝0，从而有         解

得        . 所以原方程组仅有一组实数解，即：x=1,y=1,z=0.

对这类开放题，教师在教学中要引导学生根据已知知识、经验和方法，对问题广泛联想、想象、积极探索，以便寻找规律，使问题合理得到解决。

总之，学生创新思维能力的培养是一项长期、艰巨的任务。在平时的教学中，教师适当运用一些开放题，或用课本例题、习题，精心改造，编写后引导学生自编一些开放题，有助于启发学生的思维，可以帮助学生对知识的系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。同时，使学生开拓知识视野，增强能力，发展创造思维。

参考文献：1、《中考数学开放探索性问题的编制与策略》（李其明   张玮）

2、《应用数学开放题培养学生的创新思维》（王仲仪）