如 何 上 好 一 节 复 习 课
 ——记《圆中常见的辅助线的作法》的教学及反思
王建芳
（新疆乌鲁木齐市第82中学   830006）
 “台上一分钟，台下十年功”，这是我今天上完这节公开课后最大的体会。总体来说，这节公开课是成功的，得到了听课教师一致的好评。但有位教师抛出的问题却映在我的脑海中，如何上好一节复习课？我思虑再三，浅谈一二。我从本节公开课《圆中常见的辅助线的作法》衍生出一些想法。
 《圆》是第二十四章的内容，它是中学几何的重要内容。在本章的复习中，不仅要用到本章的一些知识，还要综合应用前面学过的一些知识，综合性比较强。有些问题不能直接解决，还需要添加适当的辅助线，进行一些转化。辅助线的添加是解决圆的问题的关键，它有利于简化题目，把圆中的问题转化到直角三角形中解决。
 设计《圆中常见的辅助线的作法》这节课时，学生已经学习了圆的有关概念、性质、定理等知识。学生观察、注意、记忆能力以及思维品质都有了很大的发展，独立思考和表达能力迅速提升，思维的广阔性、深刻性明显增强。但缺乏思路清晰而流畅的表达，基于这样的考虑，我在教学设计中尽量适时为同学们搭建展示的平台，鼓励学生的创造性思维，努力让更多的学生获得良好的数学教育。
【教学过程】
活动一：（有关辅助线的诗引入）
说几何，很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
切勿盲目乱添线，经常总结方法显。
活动二：圆中有弦的情况
1、如右图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（    ）
A.10   B.8   C.5   D.3
           
 第1题             第2题               第3题
2、如图所示，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝４，∠APO＝30°，则弦AB的长是（）
 A.        B.        C.          D.
3、如下图所示，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=８，则OP的长为（     ）
A.3     B.4     C.        D.
【分析】：本环节有三道题，对于辅助线的添加条数依次增加，题目的难度也在依次增加，符合学生的认知规律。前两道由学生讲如何做，第三题教师讲解。虽然这是一节复习课，但此时的处理并不是一味的讲题，而是讲了三道题，停下来做一个及时的总结，这三道题有一个共同点就是圆中有弦。
小结：若圆中有弦，常需作圆心到弦的距离或连半径，其目的是构造直角三角形.利用垂径定理和勾股定理解决问题。
 学生是在任务的驱动下有目的进行复习，他们在独立思考与合作学习的过程中逐步理解、体会知识，为课上小结的清晰展示做好知识的铺垫，并且提升复习的密度，实现分层辅导的目的。并且以后遇到类似问题，就有了解决的方向和思路。
活动三：圆中有直径的情况
4、如下图所示，已知：AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ABC=50度，则 ∠D为（     ）
A.50°     B.45°     C.40°     D.30°
     
 第4题                     第5题
5、如图所示，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D.
求证：BD=CD.
6、如图, 点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=60°,AB=6，
求⊙O半径的长。
           
 备用图1                 备用图2                  备用图3
【分析】：任何学习如果想获得真正的感悟和收获都离不开亲自实践的过程，只有学生深度的实践才会达到学习、创造、发展的目的。本着学生是课堂的主体的理念，我把讲台还给不同层次的学生，让他们大胆的表达自己的想法，也暴露学习过程中的错误，为进一步深入分析提供问题的激发点。第四题、第五题都是利用圆中有直径，添加辅助线，利用直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形解决问题。第六题圆中没有直径，但又要求半径，半径与直径有倍数关系，所以辅助线添加直径，再利用同弧所对的圆周角相等，构造直径所对的圆周角，最后在直角三角形中解决问题。第六题有三种添加直径的方法，发散学生的思维，让学生自己发现并陈述出来。三道题处理完，再加以及时总结，让学生自己尝试总结，不足之处，老师补充。
小结：若圆中有直径，有意识添加直径所对的圆周角，构造出直角三角形，将圆中的问题转化到直角三角形中去求解。
活动四：涉及到证切线的情况
7、如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切与点E．
求证：CD与⊙O相切.
       
 第7题                                      第8题
8、已知CD是⊙O的直径，AC为的弦，B为CD延长线上的一点，AB=AC，且∠ABC=30°.求证：AB为⊙O的切线
【分析】：第七题和第八题是与切线有关的问题，老师讲一道，学生做一道。因为这是一节公开课，第八题学生做的较多、较熟练，所以我选择讲第七题，后来听课老师在评课时提出，第七题需作两条辅助线，而第八题只需一条辅助线，从由简到难的过程考虑，先从第八题做起，从学生的认知方面考虑，可能会好点。学生独立分析并解决学案中呈现这部分题目，然后选择中等生上黑板展示。重点展示一题多解的分析思路。最后由师生共同归纳例题所呈现的基础知识和基本方法，体验切线证明的基本思路。
小结：证切线基本思路   点已知 → 连半径 → 证垂直
 点未知 → 作垂直 → 证半径
活动五：综合应用
9、 CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O 分别交CA、CB于点E、F,点G是AD的中点，求证：GE是⊙O的切线.
     
 备用图1                            备用图2
【分析】本题难度系数较大，此时需引导学生，证GE是⊙O的切线，即证∠OEG=90°。有四种方法证明，让学生深刻体会证明切线的不同思路，训练学生灵活运用切线的判定定理证明圆的切线，难点得以突破。从而提高学生分析问题解决问题的能力，以及演绎推理的能力。
 通过这节课的教学，我觉得想上好一节复习课，应做以下设计准备：
一、设置扎实的基本训练 ，培养基本的推理论证能力。复习课的基本训练要抓住这一章节的要害，突出重点，对某一类题或某一种解题方法进行复习，板块性、专题性要强。对学情进行一个初步的摸底，了解学生已有的知识储备，对重要的基础性知识做好查漏补缺，对已学知识力求做到熟记于心。通过分层教学和学生的合作学习以及教师搭设的学生展示的基础平台，充分让学生参与到教学环境中来，体现了学生是课堂学习的主体，并且不断激发学生的学习自信，让学生感受成功的喜悦。
二、设置系统的结构整理，训练学生的转化思维能力。
 复习不是简单地再现已学知识，而是要通过对已学知识的系统整理，使学生再解决问题时有了清晰明了的方向。在整理知识的过程中，特别要引导学生自主参与整理，使平时所学的“分散、零乱、细碎”的知识点，结成知识链，形成知识网。如本节课中主要讲了常见辅助线添加的三个类型，（1）圆中有弦的情况（2）圆中有直径的情况（3）涉及到证切线的情况。同时，在教学时还应帮助学生加强解题思路的分析，帮助学生树立在一定条件下，已知与未知、简单与复杂、特殊与一般可以转化的思想，使学生会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题的方法。加强对课堂问题的设置层次，起到激发学生思维的作用。我在本节复习课教学中，习题大多采用一题多解的方式处理，使学生能深刻理解图形和条件的真正含义，培养学生发散性思维和创新思维的能力，有助于学生数学思维的培养。
三、设置典型的综合训练，提升综合应用知识的能力
复习课的练习有别于新授课的巩固练习和练习课的针对性练习。复习课的练习重在体现综合性、开放性、多变性，要能进一步体现知识间的纵横联系，而且要加强对比、辨析，促使学生认知结构融会贯通，提升学生综合应用知识的能力。所以，复习课应设计具有针对性和思维含量的习题，不仅要做到层次清晰、结构合理，还应根据教材的特点和学生的不同知识基础。进行不同的练习设计，同时要处理好坡度和难度。对于一般学生，控制在教科书“综合应用”的题目难度内，对于学有余力的学生，可以提升难度到“拓广探索”的难度。
四、注重数学思想方法的渗透和解题方法的指导
 要精心设计一节复习课，还需注意数学思想的形成和数学方法的掌握。在引导学生分析问题时要让学生寻求不同的解题途径与思维方式，这样可以培养学生思维的广阔性。在解答范例之后要及时引导学生对所涉及的重要基础知识和解题方法进行归纳，总结规律，概括主要的数学思想和数学方法，通过学生对所解答问题思维方式不同，产生解题方法各异，这样可以打破思维定势，开拓学生思路，优化解题方法，从而培养学生发散思维能力，使学生对这些问题从感性认识上升到理性认识。
五、重视对信息技术工具的应用
 有条件的学校应重视信息技术工具的使用，利用信息技术工具，可很方便的制作图形，让图形动起来。许多计算机软件还具有测量功能，这也有利于我们在图形运动变化过程中发现其中不变的位置关系和数量关系，简化了题目的难度，便于学生解决问题。