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配方法在初中数学中的应用举例
刘中峰
(山西省中阳县教研室 山西 中阳 033400)
【摘要】
配方就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在初中数学中应用十分广泛，在因式分解、化简根式、解方程、求解不等式、二次函数问题等方面都经常用到它。是初中数学学习中一种极其重要的解题方法。
【关键词】:方法; 初中数学; 应用举例
【Abstract】:s an analytical formula by using the method of identical deformation, put some of these items as one or a few positive integer polynomial time and form of power. Call the method by using the method of formula to solve mathematical problems. Among them, the use most is the way as completely flat. Match method is an important method of identical deformation of mathematics, and they are widely used in the junior middle school mathematics in factoring, simplified radical, solving equations, solve problems of inequality, quadratic function is often used in such aspects as it. An extremely important problem solving is a junior high school mathematics learning method.
【Key words】:atch method; Junior middle school mathematics; Application, for example,
1:因式分解中的应用
用配方法进行因式分解基本思路是把多项式中的某几项进行适当配方，使之成为完全平方式，再同剩余项进行下步分解，对于任意一个可进行因式分解的多项式都能用配方法进行分解。
例 1 分解因式 〖XCT3.TIF；%85%85〗
〖XCT4.TIF；%75%75〗
〖XCT3A.TIF;%80%80〗〖HJ*2/5〗
用配方法对多项式在有理数范围进行因式分解，相对于提公因式法、运用公式法、十字相乘法来说难度稍大些，但当以上方法均难以进行时，配方法可能是最好的办法。
〖HTH〗2〓在化简二次根式中的应用〖HT〗
对形如〖KF(〗a±2〖KF(〗b〖KF)〗〖KF)〗的复合二次根式 (a,b是正有理数,b不是完全平方数), 是竞赛中比较常见的问题，如果它的被开方式能够配成完全平方式的形式，化简的关键是将被开方数化成完全平方的形式，要用到配方的思想。.
例2 化简: 〖KF(〗4+2〖KF(〗3〖KF)〗〖KF)〗
分析: 因为4=(〖KF(〗3〖KF）〗)2+1,所以 4+2〖KF（〗3〖KF）〗=(〖KF（〗3〖KF）〗+1)2
解〖KF（〗4+2〖KF（〗3〖KF）〗〖KF）〗=〖KF（〗（〖KF（〗3〖KF）〗+1）2〖KF）〗=〖KF（〗3〖KF）〗+1
例3 化简:〖KF（〗7-2〖KF（〗10〖KF）〗〖KF）〗
分析: 因为 7=5+2, 所以7-〖KF（S〗2〖〗10〖KF）〗=（〖KF（〗5〖KF）〗-〖KF（〗2〖KF）〗）2
解：〖KF（〗7-2〖KF（〗10〖KF）〗〖KF）〗=〖KF（〗（〖KF（〗5〖KF）〗-〖KF（〗2〖KF）〗）2〖KF）〗=〖KF（〗5〖KF）〗-〖KF（〗2〖KF）〗
用配方法化简二次根式，关键是通过观察分析好根式中的数字特征，找到相应的平方数，合理进行拆项，配成完全平方式。
〖HTH〗3〓在解方程中的应用〖HT〗
配方法解方程是以完全平方公式a2+2ab+b2=(a±b)2为依据，直接开平方法为辅助，先将方程加以变形，再以直接开平方法为辅助，从而获得求解的一种方法，这种方法适合于所有的解一元二次方程问题。用配方法解方程，，虽然方法相比略显得复杂一些，但确实是一种重要的解题方法。
例4 （2009.东莞中考）用配方法解方程x2-3x+1=0
解：把常数项移到右边，得x2-3x=-1
方程两边都加上(〖SX(〗3〖〗2〖SX)〗)，得x2-3x+〖SX(〗9〖〗4〖SX)〗=-1+〖SX(〗9〖〗4〖SX)〗
即（x-〖SX(〗3〖〗2〖SX)〗）2=〖SX(〗5〖〗4〖SX)〗
开平方，得
x+〖SX(〗3〖〗2〖SX)〗=±〖KF(〗〖SX(〗5〖〗4〖SX)〗〖KF)〗=±〖SX(〗〖KF(〗5〖KF)〗〖〗2〖SX)〗
所以原方程的解为x1=〖SX(〗〖KF(〗5〖KF)〗-3〖〗2〖SX)〗，x2=〖SX(〗-〖KF(〗5〖KF)〗-3〖〗2〖SX)〗
例5 解方程4x2-12x-1=0
解：方程两边同除以4得
x2-3x-〖SX(〗1〖〗4〖SX)〗=0
移项x2-3x=〖SX(〗1〖〗4〖SX)〗
配方x2+3x+(-〖SX(〗3〖〗2〖SX)〗)=〖SX(〗1〖〗4〖SX)〗+(-〖SX(〗3〖〗2〖SX)〗)2
即（x-〖SX(〗3〖〗2〖SX)〗）2=〖SX(〗10〖〗4〖SX)〗
x-〖SX(〗3〖〗2〖SX)〗=±〖SX(〗〖KF(〗10〖KF)〗〖〗2〖SX)〗
所以原方程的解是x1=〖SX(〗3〖〗2〖SX)〗+〖SX(〗〖KF(〗10〖KF)〗〖〗2〖SX)〗,x2=〖SX(〗3〖〗2〖SX)〗- 〖SX(〗〖KF(〗10〖KF)〗〖〗2〖SX)〗
用配方法解方程的一般步骤：
（1）先把二次项系数化为1才能配方，这是关键的一步；
（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边、都加上一次项系数的绝对值一半的平方；
（4）把方程变为(x+m)2=n的形式；
（5）如果方程右边是非负数，就可直接用开平方法求方程的解。
四、在不等式、等式问题中的应用
初中不等式，特别是一元二次不等式的证明或求解，主要思路是把不等式ax2+bx+c>0(ax2+bx+c<0)的左边进行配方为完全平方式，根据任意实数的平方均为非负数，从而得出一个代数式的值的情况或一个不等式成立。
例6 （2009 开封中考）当x取任意实数时，m2-2m+2〖CD#2〗0.(填“>”、“<”或“=”
解：因为m2-2m=m2-2m+1-1+2=(m-1)2+1
又 (m-1)20
所以(m-1)2+1>0
即m2-2m+2>0
故填>
例 7 说明代数式4x2-6x+3的值恒大于0
证明：4x2-6x+3=(2x)2-6x+〖SX(〗9〖〗4〖SX)〗-〖SX(〗9〖〗4〖SX)〗+3
=(2x-〖SX(〗3〖〗2〖SX)〗)2+〖SX(〗3〖〗4〖SX)〗>0
例 8 证明：-10x2+7x-4的值小于零。
证明：-10x2+7x-4=-10(x2-〖SX(〗7〖〗10〖SX)〗x)-4
=-10(x2-〖SX(〗7〖〗10〖SX)〗x+〖SX(〗49〖〗400〖SX)〗)+〖SX(〗49〖〗40〖SX)〗-4
=-10(x-〖SX(〗7〖〗20〖SX）〗)2-〖SX（〗111〖〗40〖SX）〗<0
例9 已知三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,请你判断这个三角形的形状。
精析：确定三角形的形状，主要是讨论三条边之间的关系。代数式a2+b2+c2=ab+ac+bc之中蕴含了完全平方式，我们要重新拆项，组合如下：
解：2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc
2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
a2-2ab +b2+ a2-2ac+ c2+b2-2bc+c2=0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
所以a=b=c
三角形是等边三角形
〖HTH〗5〓在二次函数问题中的应用〖HT〗
配方法在二次函数中起着重要的作用，主要源于二次函数表达式中的顶点式y=a(x-h)2+k（a>0）在二次函数问题中的作用。因为a决定着抛物线的开口方向，直线x=h是抛物线的对称轴，h的变化影响抛物线左右平移，（h,k）是抛物线的顶点坐标，k是抛物线的最值，k的变化影响着抛物线上下平移。
例10 已知二次函数y=x2-2x+3
（1）求它的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）这个函数有最大值还是最小值？最大值或最小值是多少？
（3)当在什么范围内取值时，函数随的增大而减小？
解 ：由y=x2-2x+3配方得y=(x-1)2+2
（1）二次函数的开口向上，对称轴是直线=1，顶点坐为（1,2）
（2）这个函数有最小值，最小值是2；
（3）当<1时，函数随的增大而减小
例11 （2008 贵阳中考）某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以50元售出，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个。
（1）假设销售量单价每提高元，那么销售每个篮球所获得的利润是〖CD#4〗元；这种篮球每月的销售量是〖CD#4〗个。（用汗的代数式表示）
(2)8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？
解：（1）10+x、 500-10x
(2)设月销售利润为y元。
由题意y=(10+x)(500-10x)
整理，得y=-10(x-20)2+9000
当x=20时，y的最大值为9000，
20+50=70
答：8000元不是最大利润，最大利润为9000元，此时篮球的售价为70元
例12 二次函数y=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗x2+3x+〖SX(〗5〖〗2〖SX)〗的图像是由y=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗x2的图像先向〖CD#3〗（左、右））平移〖CD#3〗个单位长度，再向〖CD#3〗（上、下）平移〖CD#3〗个长度单位得到的。
〖XCT6.TIF；%80%80〗
所以y=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗x2+3x+〖SX(〗5〖〗2〖SX)〗是由y=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗x2先向下平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的。
另外，一些特殊的化简求值题亦可利用配方进行求解。
例13 （2007 云南中考）已知x+y=-5,xy=6,求x2+y2的值是（〓〓）
A.1〓〓B.13〓〓C.17〓〓D.25
解：把x2+y2配方得x2+y2=x2+2xy+y2-2xy=(x+y)2-2xy
将x+y=-5,xy=6代入得52-12=13，故选B
所以用配方法把二次函数y=ax2+bx+c的一般式化为顶点式后，易于得出函数的对称轴、顶点坐标、函数的最值，.同时能轻易地看出抛物线的平移等问题，故而配方法在二次函数中占有很大的作用，是学生必会的方法之一。
〖HTH〗6〓在二次代数式的讨论与求解中应用〖HT〗
例14 用配方法证明:无论x为何实数，代数式x2-4x+4.5的值恒大于零。
与用配方法求二次函数的顶点坐标类似，此题也是把二次项和一次项看作一个整体，并对其进行配方。解法如下:
〖XCT7.TIF〗
∴无论x为何实数，代数式x2-4x+4.5的值恒大于零。
例15 若x2y2-20xy+x2+y2+81=0，求x,y的值。
此题可以运用“裂项”与“凑”的技巧，把-20xy裂成-18xy与-2xy的和，来完成配方，并根据完全平方式为非负数的性质把二元二次方程化为二元一次方程组。其解法如下：
〖XCT8.TIF〗
〖XCT9.TIF〗
例16 （2005 卡西欧杯竞赛题）若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是实数)，则M的值一定是（〓〓）
A 正数〓〓B负数〓〓C零〓〓D整数
精析：先将元多项式转化成几个完全平方式的和的形式，然后就其结构特征进行合理的分析、推理，可达到目的。
解：因为M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13=2（x-2y）2+（x-2）2+（y+3）2≥0并且2（x-2y）2,（x-2）2,（y+3）2这三个式子不能同时为0，所以M〉0，故选A。
总之，配方法是解决数学问题的一种有效的方法，能熟练运用配方法解决数学问题，既是学习初中数学的要求，同时也是学习初中数学的重要途径。要运用好配方法，首先是理解配方法的内涵所在，其次是掌握配方法的运用步骤，再次是要进行一定量练习。这样就能熟练掌握配方法，用以学习好初中数学。
参考文献
［1］：日新《数学学习法》新世界出版社2001年9月北京
［2］：《2010年云南中考全真模拟冲刺卷》晨光出版社2009年12月
［3］：弓全安《互动课堂训练·九年级上下》2009年11月
［4］：冰文《创新成功学习·八年级上下》云南科技出版社，2010年7月
［5］：马复《教师教学用书》北京师范大学出版社2005年11月
［6］：李膨龄《初中数学基础知识全书》世界图书出版公司北京公司，2004年5月
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