解 (1)如图1, 过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4 .
∠AED=∠C=60°.  又 ∵∠D=∠C=60°，
 ∴△AED是等边三角形 . ∴ AD=DE=9－4=5 . 
（2）如图2, DQ=CP= ,h为PD边上的高, ∠D=60°，
则PD= ,
△PDQ的面积S可表示为：
S= PD•h = (9－x)• = (9x－x2) =－ (x－ )2＋ .  
由题意，知0≤x≤5 .   ∴当x= 时（满足0≤x≤5），S最大值= . 
（3）如图3,假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .
于是9－x=x，x= .则点P为CD的中点.
此时，点P、Q的位置如图3所示，
连QP .∠D=600,则△PDQ为等边三角形.
过点Q作QM∥DC，交BC于M，点M即为所求.
连结MP，则CP=PD=DQ=CM, ∠C=600,则△CPM也是等边三角形.
∴∠D=∠3 =600.  ∴MP∥QD ,     ∴四边形PDQM是平行四边形 .
又, PD=DQ .   ∴四边形PDQM是菱形 . 
所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－ = .
例2如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由
分析 (1)由点B(-2,m)在直线 上,可求得 的值及
点B的坐标,进而求得抛物线的解析式;
(2)通过分别求得CB和CE的长来说明CB=CE,
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，过点E
作EH∥x轴，交y轴于H，由△DFB≌△DHE,证得D是BE的中点；
(3)若存在点P使得PB=PE,则点P必在线段BE的中垂线CD上,
动点P又在抛物线上,通过解直线CD和抛物线对应的函数关系式所联列的方程组,其解即为所求点的坐标.
解（1）∵ 点B(-2,m) 在直线 上， ∴ m=-2×(-2)-1=3.   ∴ B(-2,3)
∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴ 点A的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). 
将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴  .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为 ，即 .
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，则点G坐标为(2,3)
BG⊥直线x=2，BG=4.在Rt△BGC中，BC= .
∵ CE=5，∴ CB=CE=5. 
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，
∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE （SAS），∴ BD=DE.   即D是BE的中点.                
(3)由于PB=PE，∴ 点P必在线段BE的中垂线CD上，
又点P在抛物线 上,
∴ 符合条件的点P应是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b. 
将点D(0,-1) C(2,0) 代入，
得 . 解得   . 
∴ 直线CD对应的函数关系式为y= x-1.
解方程组       得               
∴ 符合条件的点P的坐标为( ， )或( ， ).