初等几何变换在中学数学中的应用 
田方园  
 
【摘要】变换是由一种形式转变为另一种形式的思想，变换是思维的一种方式.在初等几何变换的解题中，题目表面给出的条件往往显得不够，从图形移动的角度将图形做一定的变换.有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破找到满意的解答.图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变换的运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，很好的领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，将会很有效地提高思维素质，在解题中也会收到奇效.
【关键词】   中学数学    几何变换     运用
全等变换
 全等变换是平面图形到自身的一个一一对应，图形经全等变换后与其对应图形是相等的.全等变换的特殊情况有平移变换、旋转变换和翻折变换(轴对称)。下面举例说明在实际中如何用全等变换的思想处理一些几何问题.
1、平移变换
   平移变换是几何变换的常用方法之一，在几何问题中有着广泛的应用.将几何图形中的各顶点沿它们所在的一组平行线向同一方向移动相同的距离，这种几何变换的方法叫做平移变换.平移之后又有如下性质：平移后的图形与原来图形连结对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等；对应线段平行(或在同一条直线上)且相等；对应角相等；图形的形状与大小都没有发生变化.
 当问题中已知条件的线段或角的位置交叉重叠，则可尝试用平移变换，将它们移至需要的位置，从而打通联系条件与结论的途径.当图形中的线段或角的位置分散，解题需要适当的集中.可考虑用平移变换将有关的线段或角移到一个三角形或一个恰当的三角形中.
    例1：梯形中(如右图)．AD∥，，，，求梯形的面积．
 分析：对角线，位置交叉，设想将交叉线段与AC分开,移位至同一三角形中.为此过作∥交延长线于．平行四边形有，，，可以得到,从而.  故梯形ABCD=
 下面是一些常用到的平移变换的特殊情形.
 ①与定长、定向的线段有关的问题常作平移.
 ②与梯形、正方形有关的问题常可用梯形和正方形的特征作平移.
2、旋转变换
 旋转变换是指：设为平面上一个定点，为已知的有向角，是平面上的变换，如果对于任一对对应点、，总有，那么这种变换叫做以为旋转中心，为旋转角的旋转变换，记为.旋转变换具有一条比较重要的性质，即当旋转角180°的，直线（线段）与对应直线（线段）的交角等于，由于旋转变换所具有的特性，它在初等几何解题中有着广泛的应用.
 例2：设为正方形内的一点，，，求正方形的面积.
 分析：欲求正方形的面积，需要求出它的
边长，而已知条件中的线段比较分散，需将它们相对集中，
由于四边形是正方形，故可考虑采用旋转变换.
 解：如图 ，施行变换，则≌.
连接，，为等腰直角三角形，所以,，
又因为，，所以，，
故，因此，从而。
在中，由余弦定理                                                        

所以S正方形ABCD=
 例3：利用旋转变换证明勾股定理.                                  
 已知：在中，，求证。                                                                                  
 证明：如右图，做矩形，施行变换：矩形，可知四边形为矩形，并，连接，
所以四边形为梯形,   所以，
从而.  即
 勾股定理的证明有多种方法，从以上证明过程可以看出，若采用旋转变换来证则思路清晰过程简洁，并且非常直观.
 在应用旋转变换解几何问题时，注意下面一些特殊情形.
 ①与等腰三角形有关的问题时，可用顶角的顶点为旋转中心作旋转变换.
 ②与正三角形（或正方形）有关的问题，可用正三角形（或正方形）的特性旋转变换. 当问题中涉及正方形或垂直关系，常选用正方形顶点或中心作旋转中心，或作旋转角度以达到集中或需要改组图形关系，从而达到解决问题的目的.
 ③与圆有关的问题，常取圆心为旋转中心作旋转变换.当图形中存在（或适当添加辅助线之后存在）等线段、特别角、全等形、正多边形等情况时，常常可以试作一个有用的旋转变换.使得这个变换带来新的全等形、相等的线段、相等的角等等，从而将已知条件相对集中，以利于问题的解决.
3、对称变换
 一平面到自身的变换，若存在一条直线，使对于平面上的每一点为其对应，其连线都被定直线垂直平分，则称这种变换为对称变换，定直线称为对称轴，对称变换有如下性质：
 （1）把图形变为与之全等的图形；
 （2）关于对称的两点连线被垂直平分.
 证明对称中使用对称变换，保留原有图形的性质，且使原来分散条件相对集中,使已知条件和要证明的结论发生联系，有利于问题解决.
 例4：已知为等边内一点，且，为三角形外一点，且，求。
   思路分析：设法把变换为正三角形内的特殊角，问题可获解.由平分知直线BD是的对称轴，作对称变换可得,即.又DB=DA,所以CD是线段AB的垂直平分线，故在等边三角形中直线也是的对称轴.于是，即.
 解题时，常根据下面的一些特殊情况作对称变换.
    与线段有关的问题时，常取该线段的垂直平分线为对称轴作变换；与角平分线有关的问题时，常取角平分线所在的直线为对称轴作变换；与等腰三角形有关的问题时，常取底边的中垂线为对称轴作变换；与正三角形或正方形有关的问题时，常利用正三角形或正方形的特性作对称变换；与圆有关的问题，常取直径所在直线为对称轴做变换.
4、平移、旋转、对称的综合
 此类问题综合了全等变换的三种情况，只要我们掌握了每一种变换的特征，就能运用它们来解决问题了.
 例5:如图，平面直角坐标系中，为等边三角形现以轴为对称轴作对称图形，得，再以X轴为对称轴作对称图形，得.
 （1）直接写出点的坐标.
 （2）能否通过一次旋转将旋转到的位置？你若认为可能，请作出肯定回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不可能，请作出否定回答（不必说明理由）.
 （3）设当的位置发生变化，、与之间的对称关系始终保持不变.
 ①当向上平移多少个单位时，与能完全重合？并直接写出此时点C的坐标.
 ②将绕点A顺时针旋转，使与完全重合，此时的α值是多少？点C的坐标又是什么？
 分析：本题以几何知识为背景，考查学生数形结合能力，第（1）问只要抓住点关于轴、轴对称的坐标特征即可写出、的坐标，第（2）问要观察比较与三个顶点的坐标，不难发现它们三个对应顶点的坐标，恰好关于原点对称；第（3）问无论是将平移还是旋转，要使与完全重合，必须使它们的顶点落在轴上.
 解：（1） 、
 （2）能通过一次旋转将旋转到的位置，所旋转的度数为180°.
 （3）①当向上平移2个单位时，与完全重合，此时C（，）如图2.
 
               图2                                 图3
 ②当时，与完全重合，此时，如图3.
二、面积变换
 所谓面积变换，即通过变换把一个图形变为与之面积相等的另一个图形，面积变换下只保持面积不变.面积变换没有位置的特殊要求，因而是最灵活的一种变换.
 例6：如图所示，是的直径，是的切线，且，过作的垂线，分别交、于、.求证：.
 思路分析:  连接、，则.由射影定理可得，，
问题获证.
 例7：如图所示，在中，，﹤，在上，，是上任一点，于E，.求证：.
 思路分析: 此题若按常规采用割补法，证明较繁.转变证题思路，由，推得.从而推得.
三、结束语
 通过对初等几何中几个常见的变换进行介绍和分析，发现其在中学数学中有很重要的作用.解一道几何题，要把未知的复杂关系转化为已知的条件，达到化难为易的效果，从而获得问题的解决.几何变换的试题全面地考查了学生空间想象力，获取信息、处理信息的能力以及观察判断、逻辑推理的能力，提高学生的空间想象力，使学生对平面几何的认识有新的视角、新的方法.在数学教学中合理运用图形的变换思想，重视对学生几何变换思想的培养，对他们空间思维想象力的培养很有益，也有效地提高了他们的思维素质.
参考文献： 
[1]王林全几何研究教程[M]暨南大学出版社
[2]深绍鸿初等数学复习与研究（平面几何）[M]人民教育出版社
[3]周春荔平面几何初等变换[M]中等数学
[4]初等几何研究与教学法[M]山东师专编
 [5]胡祀，周春荔初等几何研究基础教程[M].北京师范大出版社，1998
[6]赵振威中学数学教材教法[M]华东师范大学出版社2000年
[7]吕林根、许子道解析几何[M]高等教育出版社2004年
[8]黎家银四川文理学院学报(教育教学研究第18卷专辑[j]) 2008年6月
[9]何星钢黔西南民族师范高等专科学校学报[j]2005年9月
[10]李长明，周焕山初等数学研究[M]高等教育出版社，1999年